关于 Lorentzian 与平坦仿射几何的 $\mathsf{GL}(2,\mathbb{R})$ 介绍

本文旨在研究四维实一般线性 Lie 群 $G_0$ 的连通单位分支作为 Lorentzian 与平坦仿射流形的几何。由于群 $G_0$ 自然具备双不变 Hessian 度量 $k^+$ 以及相对的双不变平坦仿射结构 $\nabla$，我们同时考察了这两种结构及其之间的关系。这两种结构均由 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 定义，前者通过迹 $k(u,v):=\mathrm{trace}(u\circ v)$ 定义，后者通过组成 $\nabla_{u^+}v^+:=(u\circ v)^+$ 定义，其中 $u,v\in\mathfrak{g}$。在第 1 节中确定了 $(G_0, k^+)$ 的曲率、潮汐力以及 Jacobi 向量场。第 2 节讨论了 $k^+$ 的因果结构，而第 3 节则聚焦于 C. Ehresmann 视角下相对于 $\nabla$ 的 develop map。