三维单模李群上的洛伦兹型左不变度量及其曲率

存在五个单连通三维单模非阿贝尔李群:幂零李群 $\mathrm{Nil}$、特殊酉群 $\mathrm{SU}(2)$、特殊线性群的万有覆盖群 $\widetilde{\mathrm{PSL}}(2,\mathbb{R})$、可解李群 $\mathrm{Sol}$ 以及欧氏群连通分支的万有覆盖群 $\widetilde{\mathrm{E}_0}(2)$。对于这些李群中的每一个 $G$,我们显式给出 $G$ 上所有洛伦兹型左不变度量的列表(模 $G$ 的自同构)。此外,对该列表中任一洛伦兹型左不变度量,我们给出其 Ricci 曲率、数量曲率、Ricci 曲率的符号,并展示这些曲率的一些特殊性质。具体而言,我们给出了所有常曲率度量、半对称非局部对称度量以及 Ricci 孤子。