低维紧致伪黎曼齐性爱因斯坦流形

设$M$为有限体积的伪黎曼齐性爱因斯坦流形，并假设连通李群$G$在$M$上传递且等距地作用。在这种情况下，$M$上的度量在$G$的李代数$\mathfrak{g}$上诱导出一个双线性形式$\langle\cdot,\cdot\rangle$，它是幂零不变的（nil-invariant），一种与不变性密切相关的性质。我们在三种重要情形下研究此类空间$M$。首先，我们假设$\langle\cdot,\cdot\rangle$是不变的，此时爱因斯坦性质要求$G$或是可解的或是半单的。接下来，我们研究$G$为可解的情形。此处，$M$是紧致的且对于$G$中的格$\Gamma$有$M=G/\Gamma$。我们证明在维度小于等于$7$时，紧致商$M=G/\Gamma$仅存在于幂零群$G$。我们猜想这对任意维数成立。事实上，如果关于超越数的Schanuel猜想为真，则这成立。最后，我们考虑半单李群$G$，并发现$M$被对应于$G$的紧致和非紧致因子的爱因斯坦流形的伪黎曼积所覆盖。