关于不变 Einstein 度规集合的紧性

设 $M = G/H$ 为紧致（未必连通）Lie 群 $G$ 的连通单连通齐次流形。我们假设各向同性 $H$-模 $\mathfrak {g/h}$ 具有简单谱，即不可约子模互不等价。存在一个凸 Newton 多面体 $N=N(G,H)$，此前曾用于估计 $G/H$ 上不变度规的代数 Einstein 方程孤立复解的数量（至多相差一个缩放因子）。利用矩映射，我们将 $G/H$ 上体积为 1 的不变 Riemann 度规空间 $\mathcal{M}_1$ 与该多面体 $N$ 的内部等同起来。我们将边界点 ${x \in \partial N}$ 与一个齐次 Riemann 空间（通常仅为局部）相关联，并将 Einstein 方程延拓至 $\bar{\mathcal{M}_1}= N$。作为 Aleksevsky--Kimel'fel'd 定理的一个应用，我们证明了与边界点相关联的所有 Einstein 方程解均为局部欧几里得的。我们显式描述了边界解集 $T\subset \partial N$ 及其自然三角剖分。通过研究 $\mathcal{M}_1$ 的紧化 $\bar{\mathcal{M}_1}$，我们给出了 B"ohm、Wang 和 Ziller 关于 Einstein 度规集 $\mathcal{E}_1 \subset \mathcal{M}_1$ 紧性这一深刻结果的代数证明。B"ohm、Wang 和 Ziller 的原始证明基于不同的方法且未利用谱的简单性。在附录中，我们考虑了第二 Betti 数 $b_2=1$ 的非对称 K"ahler 齐次空间 $G/H$。我们写出了相应 Newton 多面体的归一化体积 $2,6,20,82,344$，并讨论了代数 Einstein 方程复解的数量及有限性问题。