7 维幂零流形上的非 Ricci-平坦 Einstein 伪黎曼度量

我们肯定地回答了 Conti 和 Rossi 提出的关于是否存在具有非零数量曲率的 Einstein 伪度量的 7 维幂零李代数的问题。事实上，我们在一个 7 维幂零李群上构造了一个符号为 $(3, 4)$ 的左不变伪黎曼度量 $g$，使得 $g$ 是 Einstein 且非 Ricci-平坦的。我们证明该伪黎曼度量 $g$ 不能由该李群上任何左不变的闭 $G_2^*$-结构诱导。此外，给出了任意 7 维流形 $M$ 上闭与调和 $G_2^*$-结构的一些结果。特别地，我们证明了 $M$ 上闭且调和的 $G_2^*$-结构的底层伪黎曼度量不一定是 Einstein 的，但若是 Einstein 的则必为 Ricci-平坦。