3-Sasakian齐性流形上的仿射联络

我们描述了维数至少为$7$的每个$3$-Sasakian齐性流形上不变仿射联络的空间。特别地，还确定了不变仿射度量联络的显著子空间以及具有斜挠率的子类。为此，我们给出了所有$3$-Sasakian齐性流形的显式构造。唯一承认具有非平凡Einstein带斜挠率不变仿射联络的$3$-Sasakian齐性流形是维数为$7$的那些，即$\mathbb{S}^7=\mathrm{Sp} (2)/ \mathrm{Sp(1)}$、$\mathbb{R} P^7=\mathrm{Sp}(2)/ \mathrm{Sp(1)}\times \mathbb{Z}_{2}$以及Aloff-Wallach空间$\mathfrak{W}^{7}_{1,1}= \mathrm{SU}(3)/ \mathrm{U}(1)$。对于$\mathbb{S}^7$和$\mathbb{R} P^7$，此类联络的集合与欧氏空间共形线性变换群的两个拷贝一一对应，而对于$\mathfrak{W}^{7}_{1,1}$则严格更大。此外，我们在每个$3$-Sasakian齐性流形上完整描述了具有全斜对称挠率且其Ricci张量在典则竖直与水平分布上以不同因子为度量的倍数的不变联络集合。我们区分出一种满足这些条件的仿射联络，其特征是使所有与$3$-Sasakian结构相关的特征向量场平行化。对于$7$维例子，该联络是带斜挠率的Einstein联络。若干结果也被推广到未必齐性的情形。此时，上述仿射联络集合一般只是满足这些性质的真子集。