仿射 $3$-流形的凸分解与凹分解

(平坦) 仿射 $3$-流形是指具有到仿射空间 $\mathbb{R}^3$ 的坐标图册且转移映射属于仿射变换群 $\mathrm{Aff}(\mathbb{R}^3)$ 的 $3$-流形。我们将证明，连通闭仿射 $3$-流形要么是仿射 Hopf $3$-流形，要么规范地分解为具有不可压缩边界的凹仿射子流形、环面 $\pi$-子流形和 $2$-凸仿射流形，其中每一个都是不可约 $3$-流形。由此可知，若不存在环面 $\pi$-子流形，则 $M$ 是素流形。最后，我们证明若闭仿射流形被 $\mathbb{R}^{n}$ 中的一个区域所覆盖，则 $M$ 是不可约流形或是仿射 Hopf 流形。