正标量曲率与次级指数不变量的乘积公式

我们引入了与完备黎曼度量相关的部分次级不变量，这些度量在自旋流形的指定子集之外具有一致正标量曲率。这些不变量可用于区分相对于指定子集共轭的此类黎曼度量。我们展示了部分次级不变量的一般外部乘积公式，由此推导出具有一致正标量曲率的度量的更高 $\rho$-不变量的乘积公式，以及两个具有一致正标量曲率的度量的更高相对指数的乘积公式。我们的方法为次级分割流形指数定理提供了新的概念性证明，并为所有维度下自旋 Dirac 算子的 Piazza-Schick 非定域 APS 指数定理提供了改进版本。我们建立了更高相对指数的分割流形指数定理。我们还表明，次级不变量在与具有有限渐近维数基本群的非球面流形进行直积时是稳定的。此外，我们构造了在非紧自旋流形上具有一致正标量曲率的完备度量示例，这些度量在相对于某种意义下粗可忽略的子集共轭时是可区分的。本文的一个技术新颖之处在于，我们将 Yu 的定位代数与 Trout 关于分级 C*-代数的 K-理论描述相结合。这种形式体系允许根据 Dirac 算子的函数演算直接定义我们所考虑的所有不变量，并使我们能够给出乘积公式的简洁证明。