积流形与第二类曲率算子

我们研究积黎曼流形上的第二类曲率算子，并得到一些最优刚性结果。例如，我们证明：一个 $n$ 维非平坦完备局部可约黎曼流形，若其第二类曲率算子为 $(n+\frac{n-2}{n})$-非负（相应地，$(n+\frac{n-2}{n})$-非正），则其万有覆叠在差一个缩放的意义下必等距于 $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{R}$（相应地，$\mathbb{H}^{n-1}\times \mathbb{R}$）。我们还证明了关于 $\mathbb{S}^{n_1}\times \mathbb{S}^{n_2}$ 与 $\mathbb{H}^{n_1}\times \mathbb{H}^{n_2}$（$n_1,n_2 \geq 2$）在积黎曼流形中，以及关于 $\mathbb{CP}^{m_1}\times \mathbb{CP}^{m_2}$ 与 $\mathbb{CH}^{m_1}\times \mathbb{CH}^{m_2}$（$m_1,m_2\geq 1$）在积凯勒流形中的类似最优刚性结果。我们的方法是逐点且代数的。