多分割流形的大尺度指数

设 $M$ 为完备的 $n$ 维 Riemann 旋量流形，被 $q$ 个双侧超曲面分割，这些超曲面具有紧横截交集 $N$，并满足特定的粗横截性条件。设 $E$ 为 $M$ 上带有联络的 Hermite 丛。我们定义了 $M$ 上由 $E$ 扭曲的旋量 Dirac 算子的粗多分割指数。我们的主要结果是将该多分割指数计算为紧流形 $N$ 上由 $E$ 限制到 $N$ 所扭曲的 Dirac 算子的 Fredholm 指数。我们建立了以下主要应用：若 $M$ 的标量曲率处处有正下界（甚至若仅在该分割超曲面定义的某一个象限内成立），则多分割指数为零。因此，$\text{ind}(D_N)$ 构成了 $M$ 上一致正标量曲率的障碍。多分割指数定理的证明分为两步：首先，我们建立了多分割指数的一个强新局部化性质，这是本文的主要创新点。即使我们将任意 Hilbert $A$-模丛 $E$（针对辅助 $C^*$-代数 $A$）进行扭曲，该性质依然成立。这使得我们可以归约到 $M$ 为紧流形与欧几里得空间之积的情形。针对这一特例，可调整用于显式计算此类乘积情形指数的标准方法以获得结果。