洛伦兹流形上的主能量条件与旋量

设 $(\overline M,\overline g)$ 为一个时间与空间定向的洛伦兹旋量流形，并设 $M$ 为 $\overline M$ 的一个紧致类空超曲面，其诱导黎曼度量为 $g$、第二基本形式为 $K$。若 $(\overline M,\overline g)$ 严格满足主能量条件，则 $M\subseteq \overline M$ 的 Dirac--Witten 算子是可逆的自伴 Fredholm 算子。这使我们能够使用指标理论方法，以检测 $M$ 上严格满足主能量条件的初始数据空间中非平凡同伦群。核心工具将是 Hitchin 的 $\alpha$-不变量在洛伦兹情形下的类比。若主能量条件仅以弱意义成立，则 Dirac--Witten 算子可能不可逆，我们将在此情形下研究该算子的核。我们将证明，核仅当 $\pi_1(M)$ 为导出长度至多为 $2$ 的 virtually solvable 群时才可能非平凡。这允许将指标理论方法推广到满足弱意义主能量条件的初始数据空间。我们进一步将证明，旋量 $\phi$ 属于 $(M,g,K)$ 上 Dirac--Witten 算子的核，当且仅当 $(M,g,K,\phi)$ 可扩张为一个带平行旋量 $\bar\phi$ 的洛伦兹流形 $(\overline N,\overline h)$，使得 $M$ 为 $(\overline N,\overline h)$ 的柯西超曲面，且 $g$ 与 $K$ 分别为 $M$ 的诱导度量与第二基本形式，$\phi$ 为 $\bar\phi$ 在 $M$ 上的限制。