由第一特征自旋子浸入特殊 Spin$^c$ 流形中的超曲面

设 $M$ 为维数为 $n$ 的闭致密可定向超曲面，其均曲率 $H$ 无处为零，浸入黎曼 Spin$^c$ 流形 $\mathcal Z$ 中，且 $\mathcal Z$ 携带平行自旋子场。我们考察由 $M$ 诱导的 Dirac 算子 $\not\hspace{-0.1cm}D$ 的第一个特征值 $\lambda_1(\not\hspace{-0.1cm}D)$（取绝对值最小者），其满足 Spin$^c$ B"{a}r 不等式\n\begin{eqnarray*} \lambda_1^2 (\not\hspace{-0.1cm}D) \leq \frac{n^2}{4 \ \mathrm{vol}(M)}\int_M H^2 dV, \end{eqnarray*}\n其中 $\mathrm{vol}(M)$ 为 $M$ 的体积，$dV$ 为 $M$ 流形的体积形式。在本文中，我们在两种条件下对满足 Spin$^c$ B"{a}r 不等式等号情况的超曲面 $M$ 进行分类：一种是关于 $\mathcal Z$ 的 Ricci 条件，另一种是关于 $\mathcal Z$ 相关自旋结构的辅线丛曲率。更具体地，我们证明 $M$ 为 $\{s\} \times P$，其中 $s \in (0,+\infty)$。在特殊情况下，当 $\mathcal Z=\mathbb R^{n+1}$，即锥面过球面，其为具有平行自旋子的 Spin 流形时，等号分类结果先前由 Hijazi 和 Montiel 获得。