$\mathcal{N}=1$ 几何超引力与黎曼面上的手性三元组

我们构建了四维 $\mathcal{N}=1$ 超引力与手性非线性 sigma 模型及 Spin$^{c}_0$ 结构耦合的玻色 sector 与 Killing 旋量方程的全局几何模型。该模型涉及四流形 $M$ 上的洛伦兹度规 $g$、一个复手性旋量以及映射 $\varphi\colon M\to \mathcal{M}$（从 $M$ 到赋予一种我们称之为手性三元组的新几何结构的复流形 $\mathcal{M}$）。利用此几何模型，我们证明若 $M$ 为自旋流形，则复流形 $\mathcal{M}$ 上的 K"ahler-Hodge 条件足以保证存在关联的 $\mathcal{N}=1$ 手性几何超引力，从而肯定地回答了 D. Z. Freedman 与 A. V. Proeyen 提出的一个猜想。我们将 Killing 旋量方程维数约化到黎曼面 $X$，得到带势调和映射 $\varphi\colon X\to \mathcal{M}$（从 $X$ 到理论的 K"ahler 模空间 $\mathcal{M}$）的一个新偏微分方程组。我们刻画了所有允许超势为零的超对称解的黎曼面，证明它们由黎曼面到 $\mathcal{M}$ 的全纯映射组成，并满足关于 $X$ 的典范丛与理论手性三元组的某种相容条件。此外，我们分类了承载具有完备黎曼度规和有限能量标量映射的超对称解的所有黎曼面的双全纯类型。