纯旋量、内在挠率与偶数维曲率

我们研究了一个$2m$维复流形$\mathcal{M}$的几何性质，该流形允许标架丛到结构群$P \subset \mathrm{Spin}(2m,\mathbb{C})$（即一点处纯旋量张成直线的稳定子群）的全纯约化。几何上，$\mathcal{M}$配备了一个全纯度量$g$、一个全纯体积形式、一个与$g$相容的自旋结构，以及一个尺度未定的全纯纯旋量场$\xi$。$\xi$的定义性质是它确定了一个几乎零结构，即一个$m$维平面分布$\mathcal{N}_\xi$，沿该分布$g$完全退化。我们发展了一种旋量演算，通过它编码了$\mathcal{N}_\xi$的几何性质，这些性质对应于$P$-结构内在挠率的代数性质。这是$g$的Levi-Civita联络$\nabla$与$P$-结构不相容的程度。类似地，我们考察了$\nabla$曲率的代数性质。给出了旋量微分方程的应用。特别地，我们给出了与纯共形Killing旋子相关的几乎零结构可积的充分必要条件。我们还猜想了一个Goldberg-Sachs型定理，即当$(\mathcal{M},g)$具有指定曲率时，存在某一类几乎零结构。我们讨论了这项工作在实伪黎曼流形研究中的应用。