奇数维中的纯旋量、内禀挠率与曲率

我们研究了一个 $(2m+1)$ 维复流形 $\mathcal{M}$ 的几何性质，该流形容许标架丛到结构群 $P \subset \mathrm{Spin}(2m+1,\mathbb{C})$ 的全纯归约，其中 $P$ 是某点处由纯旋量张成的直线的稳定子。几何上，$\mathcal{M}$ 配备了一个全纯度量 $g$、一个全纯体积形式、一个与 $g$ 相容的旋量结构，以及一个相差一个标量因子的全纯纯旋量场 $\xi$。$\xi$ 的定义性质是它决定了一个几乎零结构，即一个 $m$ 平面分布 $\mathcal{N}_\xi$，沿该分布 $g$ 完全退化。我们发展了一套旋量演算，借此将 $\mathcal{N}_\xi$ 及其秩为 $(m+1)$ 的正交补 $\mathcal{N}_\xi^\perp$ 的几何性质编码为 $P$-结构内禀挠率的代数性质。这是 $g$ 的 Levi-Civita 联络 $\nabla$ 与 $P$-结构不相容的表现。以类似方式，我们考察了 $\nabla$ 曲率的代数性质。文中给出了在旋量微分方程中的应用。值得注意的是，我们将 $\mathcal{N}_\xi$ 和 $\mathcal{N}_\xi^\perp$ 的可积性与奇数维零静质量场方程解的存在性联系起来。我们给出了与纯共形 Killing 旋量相关的几乎零结构可积的充要条件。最后，我们猜想了一个 Goldberg--Sachs 型定理，即当 $(\mathcal{M},g)$ 具有给定曲率时，某类几乎零结构的存在性。我们讨论了本工作在对实伪黎曼流形研究中的应用。