八维流形上的M理论再探：N=1超对称与广义Spin(7)结构

对于形如翘曲积 ${\cal M}\times_{w}X$ 的M理论背景（其中 $X$ 是八维流形，${\cal M}$ 是三维Minkowski或AdS空间），${\cal N}=1$ 超对称的要求意味着在 $X$ 上存在一个处处非零的Majorana旋量 $\xi$。$\xi$ 可以提升为辅助九维流形 $Y:=X\times S^1$ 上的处处非零旋量，其中 $S^1$ 是半径恒定的圆，这意味着 $Y$ 的结构群约化为 $Spin(7)$。然而，一般而言，$X$ 本身的结构群并不约化。这种情况可以用广义 $Spin(7)$ 结构来描述，该结构由 $Spin(TY\oplus T^*Y)$ 的某些旋量定义。我们将 ${\cal N}=1$ 超对称的条件表示为这些旋量的微分方程。在等价表述中，在 $X$ 中任意点附近局部地使用一个“优先”的 $Spin(7)$ 结构，我们表明，${\cal N}=1$ 超对称的要求等同于用翘曲因子和 $X$ 上由 $\xi$ 双线性构造的（不一定处处非零的）1形式 $L$ 来求解固有挠率和所有不可约通量分量（除了位于 $Spin(7)$ 的 $\bf{27}$ 中的那个分量）；此外，$L$ 还受一对微分方程的约束。基于群 $Spin(7)$ 的形式体系是描述具有 $Spin(7)$ 结构的八维流形上的超对称紧化，和/或围绕具有 $Spin(7)$ 和乐紧化的超对称紧化的小通量微扰的最合适的语言。