广义 CRF 结构

广义 F 结构是 $T_cM\oplus T^*_cM$（其中 $T_cM=TM\otimes_{\mathds{R}}\mathds{C}$，度量由配对定义）的一个复各向同性子丛 $E$，满足 $E\cap\bar E^{\perp}=0$。若 $E$ 对 Courant 括号也封闭，则 $E$ 为广义 CRF 结构。我们证明了广义 F 结构等价于 $TM\oplus T^*M$ 上满足条件 $\Phi^3+\Phi=0$ 的斜对称自同态 $\Phi$，并利用 $\Phi$ 的 Courant-Nijenhuis 挠率表达了 CRF 条件。我们所考虑的结构是 Yano 定义的 F 结构和 CR (Cauchy-Riemann) 结构的推广。我们从以下对象构造了广义 CRF 结构：经典 F 结构、一对 $(\mathcal{V},\sigma)$（其中 $\mathcal{V}$ 是 $TM$ 的可积子丛，$\sigma$ 是 $M$ 上的 2-形式）、以及余维数为 $h$ 的广义正规殆接触结构。我们证明了流形 $\tilde M$ 上的广义复结构会在某些子流形 $M\subseteq\tilde M$ 中诱导产生广义 CRF 结构。最后，我们考虑了相容的广义黎曼度量，并定义了广义 CRFK 结构，该结构推广了广义 Kähler 结构，且等价于四元组 $(\gamma,F_+,F_-,\psi)$，其中 $(\gamma,F_\pm)$ 是经典度量 CRF 结构，$\psi$ 是一个 2-形式，并满足一些可用外微分 $d\psi$ 和 $\gamma$-Levi-Civita 协变导数 $\nabla F_\pm$ 表达的条件。若 $d\psi=0$，这些条件简化为度量 $\gamma$ 存在两个偏 Kähler 约化。本文附录定义并刻画了广义 Sasakian 结构。