关于弱化$f$-结构的几何

$f$-结构由 K. Yano 于 1963 年引入，随后被众多几何学家研究，它是几乎复结构与几乎切触结构的高维类比，定义在一个$(2n+p)$维流形上的(1,1)-型张量场$f$，满足$f^3 + f = 0$且具有常秩$2n$。我们近期引入了弱化（整体标架）$f$-结构（即$f(TM)$上的复结构被一个非奇异斜对称张量取代）及其在具有全测地叶状结构的黎曼流形上的弱$K$-、${\cal S}$-和${\cal C}$-结构的子类，这使我们得以重新审视经典理论。我们通过推广关于整体标架$f$-流形的若干已知结果来展示这一点。首先，我们在度量弱$f$-结构上利用一个新张量表示$f$的协变导数，然后证明在弱$K$-流形上特征向量场是 Killing 的且$\ker f$定义一个全测地叶状结构，一个${\cal S}$-结构是刚性的（即我们的弱${\cal S}$-结构是一个${\cal S}$-结构），以及具有平行张量$f$的度量弱$f$-结构退化为弱${\cal C}$-结构。当$p=1$时，我们得到了弱几乎切触、弱余辛和弱 Sasakian 结构的相应推论。