弱度量结构在非对称引力理论中的应用

满足爱因斯坦度规条件的线性联络在广义黎曼流形 $(M,G=g+F)$ 的研究中至关重要，其中 $G$ 的对称部分 $g$ 是一个非退化的 $(0,2)$-张量，而 $F$ 是反对称部分。此类结构自然地出现在理论物理的时空模型中，其中 $F$ 可被定义为近复结构或近切触度量 (a.c.m.) 结构。本文首先研究更一般的模型，其中 $F$ 具有常秩且基于弱度量结构（由第二作者与 R.~Wolak 引入），该结构推广了近复结构和近切触度量结构。我们考虑具有全反对称挠率且同时满足爱因斯坦度规条件和 $A$-挠率条件的线性联络，其中 $A$ 是与 $F$ 伴随的反对称 (1,1)-张量。在近厄米特情形下，我们证明具有此类联络的流形是弱近凯勒流形，挠率完全由基本 2-形式的外导数和尼延休斯张量决定，且结构张量是平行的；而在弱近切触度量情形下，切触分布是对合的，雷布向量场是列维-奇维塔平行的，且结构张量关于两种联络也都是平行的。对于 $\operatorname{rank}(F)=\dim M$ 的情形，我们将弱近厄米特结构应用于广义黎曼流形的基本结果（由第一作者和 S. Ivanov 得到），并证明配备爱因斯坦联络的流形是若干近凯勒流形的加权积。对于 $\operatorname{rank}(F)<\dim M$ 的情形，我们应用弱近厄米特和弱近切触度量结构，得到了配备爱因斯坦联络的广义黎曼流形的分裂结果。