可积层次与具有兼容联系的 F 流形

在几何与可积性之间的相互作用基础上，我们展示了具有兼容联系 $(\nabla,\circ,e)$ 的 F 流形是准线性第一类演化偏微分方程组的几何对应物。我们考虑具备欧拉向量场的 F 流形，并假设算子 $L=E\circ$ 为正则的。这一结果推广了半单例情形下的先前结果。作为示例，我们研究由方程 $d\cdot d_L \,a_0=0$ 的解通过 [27] 构造方法得到的可积层次相关联的正则 F 流形。我们证明了具有 $r\le n$ 的 Jordan 块 $L_\alpha$ 大小为 $m_\alpha$ 的算子 $L$ 的 $n$ 维 F 流形由单个变量的 $n$ 个任意函数分类，其中每个 Jordan 块 $L_\alpha$ 贡献 $m_\alpha$ 个来自该块对角线上变量出现的函数。对于单个任意大小的 Jordan 块，我们证明了平坦联系 $\nabla$ 对应于线性解 $a_0$。这推广了 [31] 中讨论的特殊线性解构造，其中考虑了特殊线性解。我们在维数 $2,3,$ 和 $4$ 中对任意 Jordan 标准型及其相应解 $a_0$ 的选择进行了构造说明。在这些维数中，线性解定义为双平坦 F 流形，特殊线性解与具有Killing单位向量场的黎巴耳 F 流形相关联。我们推测这一结果在一般情况下也成立。