紧凑仿射流形的Riemannian特征及其关于平行体积的描述

我们证明，任何一个具有平行体积形式 $\omega$ 的仿射流形 $(M,\nabla)$ 都可以在任何保共形类的黎曼度量中，找到代表 $H$ 使得 $\nabla$ 为其黎曼-西维奇连接。这提供了 Markus 猜想 \cite{markus1962} 中“若”方向的构造性证明，从而推广了该猜想。此外，我们的结果表明，这些结构在本质上是黎曼平坦的，这是 Markus 所断言的仿射完备性的一个更强的结论。度量 $H$ 自然地来源于体积归一化距离函数的 Hessian，且被证明为全局光滑且 $\nabla$-平行的，这扩展了 \cite{goldman1982} 和 \cite{benzecri1955} 的结果至更高维数并具有额外的几何结构。该构造通过三个技术上新颖的步骤完成：(1) 使用给定体积形式进行局部平行度量标准化，(2) 在适应坐标系中的显式 Hessian 计算，(3) 通过保持体积几何的仿射过渡图进行粘合。该方法揭示了具有兼容体积的平坦仿射流形之间意想不到的刚性，这超越了 \cite{fried1980} 中所研究的拓扑约束。