完整流形上体积泛函的临界度量

本文探讨了完整流形上体积泛函的临界度量。我们证明，在 Ricci 张量为平行的连通完整流形上，任何体积泛函的临界度量均等距于标准模型。此外，我们表明，在势函数良好且仅满足 Bach 张量为零的完整简单连通流形上，体积泛函的 Bach 平坦临界度量等距于以下模型之一：标准球面 $\mathbb{S}^n$、欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$、双曲空间 $\mathbb{H}^n$，或形为 $\mathbb{R} \times_{\varphi} \Sigma_c$ 的扭曲积，其中 $\Sigma_c$ 为势函数的常数水平集。特别是，我们在较弱的 Bach 张量假设下，建立了三维和四维情况下的分类结果。