由联络确定度规

众所周知，流形上的度规决定唯一的对称联络使度规平行：即 Levi-Civita 联络。本文研究逆问题：Riemannian 流形的度规在多大程度上由其 Levi-Civita 联络决定？我们证明，对于度规 $h$ 的通用 Levi-Civita 联络，存在一组半正定张量场 $h_{a}$，使得平行度规为 $h_{a}$ 的正定线性组合。此外，所有平行度规的集合可仅由代数过程构造。