射影微分几何中的度量：可度量性方程解的几何

在给定无挠仿射联络的射影类中，具有 Levi-Civita 联络的伪黎曼度量可由某个特定的、常被称为可度量性方程的过定射影不变微分方程的最大秩解获得（且等价）。放宽该秩假设，我们在对其延拓系统施加较宽松的泛型条件下来研究该方程的解。在此设定下，我们发现解依据解的严格符号（逐点）对流形进行分层，且这种方式局部推广了模型的分层，其中模型在每种情形下均为球面的相应李群轨道分解。因而解给出了此类嵌入轨道结构的弯曲推广。我们描述了各层的光滑性质，并确定了每一不同类型层的几何；这包括一个在层边界处奇异的开层上的度量，而该边界是给定度量的一种射影无穷远。该方法揭示并利用了不同线性几何偏微分方程之间有趣的高度非线性关系。除直接意义外，结果表明：对于可度量性方程，所谓正规 BGG 解及相应射影和乐约化所得到的强结果，可推广至远更广泛的解类。该工作也为标量平坦度量的射影紧化提供了新结果。