Hessian 流形上的混合联络

Hessian 流形 $(M,D,g)$ 是指带有平坦联络 $D$ 以及黎曼或伪黎曼度量 $g$ 的流形 $M$，其中 $g$ 在局部上可表示为某个函数 $f$ 的 $D^2 f$ 形式。在 Hessian 流形 $(M,D,g)$ 上，我们定义混合联络为一种不可压缩仿射联络 $\nabla$，它相对于 $D$ 是射影平坦的（其非参数化测地线与 $D$ 的仿射结构对齐），并且其在 $M$ 每一点处的一阶无穷小 holonomy 是伪黎曼度量 $g$ 的无穷小等距。本文研究混合联络的性质，特别地证明了对于混合联络 $\nabla$，差 $\nabla-D$ 由某个作为 $g$ 的 Hessian 势函数的对数微分所决定。在伪欧几里得流形的特例中，我们确定了标准模型，并特别地得到了开单位球上一种新的自然联络，它在 Cayley-Klein 与 Poincar\'e 双曲模型的性质之间提供了一种折中。我们还找到了唯一的（相差一个缩放）伪黎曼度量 $h$，使得 $\nabla$ 的非参数化测地线关于所谓的等时度量 $h$ 具有常速度。