关于具有平坦Gauduchon联络的紧Hermitian流形

给定Hermitian流形$(M^n,g)$，Gauduchon联络是连接Chern联络和Bismut联络的一族单参数Hermitian联络。我们将$\nabla^s = (1-\frac{s}{2})\nabla^c + \frac{s}{2}\nabla^b$称为$M$的$s$-Gauduchon联络，其中$\nabla^c$和$\nabla^b$分别是Chern和Bismut联络。自然要问紧Hermitian流形何时允许存在平坦的$s$-Gauduchon联络。这与Yau \cite{Yau} 提出的一个问题相关。 $s=0$(平坦Chern联络)或$s=2$(平坦Bismut联络)的情形分别由Boothby \cite{Boothby} 在1950年代或近期由Q. Wang和作者 \cite{WYZ} 分类。在本文中，我们观察到如果$s\geq 4+2\sqrt{3} \approx 7.46$或$s\leq 4-2\sqrt{3}\approx 0.54$且$s\neq 0$，则$g$是Kähler。我们还证明当$n=2$时，$g$总是Kähler，除非$s=2$。注意，非Kähler紧Bismut平坦曲面恰好是那些等腰Hopf曲面(据 \cite{WYZ})。