关于满足类Kähler条件的Hermitian流形的若干注记

我们研究与SKT条件及Bismut联络挠率平行性相关的、其Bismut联络 $\nabla^B$ 满足第一Bianchi恒等式的Hermitian度量。我们得到了容许其Bismut联络满足第一Bianchi恒等式且对任一切向量 $x,y,z,w$ 满足条件 $R^B(x,y,z,w)=R^B(Jx,Jy,z,w)$ 的复曲面的刻画，该刻画通过Vaisman度量给出。这些条件亦称Bismut类Kähler条件，近来已在[D. Angella, A. Otal, L. Ugarte, R. Villacampa, On Gauduchon connections with Kähler-like curvature, to appear in Commun. Anal. Geom., arXiv:1809.02632 [math.DG]]、[Q. Zhao, F. Zheng, Strominger connection and pluriclosed metrics, arXiv:1904.06604 [math.DG]]、[S. T. Yau, Q. Zhao, F. Zheng, On Strominger Kähler-like manifolds with degenerate torsion, arXiv:1908.05322 [math.DG]]中被研究。利用[ R. M. Arroyo, R. Lafuente, The long-time behavior of the homogeneous pluriclosed flow, Proc. London Math. Soc. (3), 119, (2019), 266-289]中SKT几乎交换Lie群的刻画，我们构造了满足Bismut类Kähler条件的Hermitian流形的新例子。此外，我们证明了与复曲面及几乎交换Lie群上的pluriclosed流相关的一些结果。特别地，我们证明若初始度量具有常数量曲率，则pluriclosed流在复合曲面上保持Vaisman条件。