关于负责 (1+1) 维标量演化 PDE 可积性的李代数
摘要
零曲率表示（ZCR）是可积 PDE 理论中的主要工具之一。特别地，(1+1) 维 PDE 的 Lax 对可解释为 ZCR。在 [arXiv:1303.3575] 中，对任意 (1+1) 维标量演化方程 ，我们定义了一族李代数 ，它们以如下意义负责 的所有 ZCR。代数 的表示按局部规范变换对方程 的所有 ZCR 进行分类。在 [arXiv:1804.04652] 中我们表明，利用这些代数，可得到两个给定方程间存在 B"acklund 变换的必要条件。代数 由生成元和关系定义。本文中我们表明，利用代数 ，可得到 (1+1) 维标量演化 PDE 可积性的一些必要条件，其中可积性在孤子理论意义下理解。利用这些条件，我们证明了一些 5 阶标量演化 PDE 的不可积性。同时，我们证明了 [arXiv:1303.3575] 中宣布的关于阶数为 、、 的某些类方程（包括 KdV、mKdV、Kaup-Kupershmidt、Sawada-Kotera 型方程）的代数 结构的结果。在本文及 [arXiv:1804.04652] 考虑的方程所得代数中，人们发现亏格为 和 的仿射代数曲线上某些多项式矩阵值函数的无限维李代数。在此方法中，ZCR 可依赖于任意阶偏导数，其阶可能高于方程 的阶。代数 推广了 Wahlquist-Estabrook 扩充代数，后者仅负责小得多的 ZCR 类。
引用
@article{arxiv.1810.09280,
title = {On Lie algebras responsible for integrability of (1+1)-dimensional scalar evolution PDEs},
author = {Sergei Igonin and Gianni Manno},
journal= {arXiv preprint arXiv:1810.09280},
year = {2020}
}
备注
29 pages; v2: consideration of zero-curvature representations with values in infinite-dimensional Lie algebras added. arXiv admin note: text overlap with arXiv:1303.3575, arXiv:1804.04652, arXiv:1703.07217