关于底层李代数结构的一个注记

域 $E$ 上的每个李代数通过限制标量乘法，可导出任意子域 $F \subseteq E$ 上的新李代数。本文研究这些底层李代数的结构与原李代数结构之间的关系，特别是关于原李代数有多少可从子域 $F$ 上的底层李代数恢复的问题。通过引入李代数的共轭，我们表明在某些特定情况下，李代数完全由其底层李代数决定。此外我们构造例子说明这些假设是必要的。作为一个应用，我们对每个正整数 $n$ 给出一个实 $2$ 步幂零李代数的例子，它恰有 $n$ 个不同的双不变复结构。这回答了 Di Scala、Lauret 和 Vezzoni 受其在微分几何中拟 K"ahler Chern-平坦流形工作启发而提出的一个开放问题。我们发展的方法适用于一般李代数和一般伽罗瓦扩张 $F \subseteq E$，而原问题仅考虑幂零类为 $2$ 的幂零李代数以及域扩张 $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$。我们通过刻画维数 $\leq 4$ 且定义在 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{Q}$ 上的复李代数来展示这种增强的普遍性。