从Darboux-Egorov系统到双平坦$F$-流形

受可积流体动力学型PDE理论以及Manin在$F$-流形框架下对Dubrovin对偶性的推广的启发，我们考虑一类特殊的$F$-流形，称为双平坦$F$-流形。双平坦$F$-流形由以下数据$(M, \nabla_1,\nabla_2,\circ,*,e,E)$给出，其中$(M, \circ)$是一个$F$-流形，$e$是乘积$\circ$的单位元，$\nabla_1$是与$\circ$相容且满足$\nabla_1 e=0$的平坦联络，而$E$是一个最终单位元，产生对偶乘积*，$\nabla_2$是与*相容且满足$\nabla_2 E=0$的平坦联络。此外，两个联络$\nabla_1$和$\nabla_2$需要在[2]指定的意义下水动力学几乎等价。首先我们证明，类似于Frobenius流形从Darboux-Egorov系统构造的方式，双平坦$F$-流形也可以从适当增广的Darboux-Egorov系统的解构建，本质上放弃了旋转系数对称的要求。尽管任何Frobenius流形自动具有双平坦$F$-流形的结构，但我们证明后者是一个严格更大的类。特别地，我们详细研究了维数n=2,3的双平坦$F$-流形。例如，我们证明在维数3中，双平坦$F$-流形由两个参数的Painlevé VI方程的解参数化，其解中包含超几何函数。最后，我们评论了与双平坦$F$-流形相关的一些广泛开放问题。