具有最终恒等元的 $F$-流形、双微分演算与扭曲的 Lenard-Magri 链

给定一个具有最终恒等元的 $F$-流形，我们从可积流体动力学型偏微分方程的角度审视这一结构所蕴含的内容。特别地，我们证明在半单情形下，David 和 Strachan 最近给出的最终恒等元的刻画等价于 $E\circ$ 具有零 Nijenhuis 挠率的要求。此外，在定义了与 $F$-积 $\circ$ 相容的联络的新等价关系(即流体动力学几乎等价和流体动力学等价联络)之后，我们展示了这两个概念如何在若干具体情形中体现。特别地，在具有最终恒等元和两个几乎流体动力学等价平坦联络的 $F$-流形情形下，我们能够推导出相关可积层次流的递推关系。如果这两个联络源于一个平坦度量束，这些递推关系退化为标准的双哈密顿递归。此外，利用这里提出的几何框架，我们展示了 Dubrovin 引入的主层次的递推关系如何在这个一般框架中产生，并为与具有相容联络和最终恒等元的半单 $F$-流形相关的半哈密顿层次的守恒律提供了一个一般的上同调框架。因此，我们提出的观点不仅突出了两个众所周知的递归方案(主层次和经典双哈密顿)的概念统一性，还提供了这些递归的深远推广，该推广依赖于最终恒等元的存在。