带单位元的 Nijenhuis 算子与 F-流形

本文的核心对象是二元组 $(L, e)$，其中 $L$ 是一个 Nijenhuis 算子，$e$ 是满足特定李导数条件即 $Lie_{e}L=\operatorname{Id}$ 的向量场。我们的研究分为两部分。在第一部分中，我们建立了带单位元的 Nijenhuis 算子的分裂定理，将其研究有效地约化为在给定点处 $L$ 具有一个实特征值或两个复共轭特征值的情况。我们进一步给出了在代数泛型点附近 $\mathrm{gl}$-正则带单位元 Nijenhuis 算子的范式，以及二维和三维的半范式。在第二部分中，我们建立了带单位元的 Nijenhuis 算子与 $F$-流形之间的关系。具体而言，我们证明了正则 $F$-流形类与具有循环单位元的 Nijenhuis 流形类一致。通过推广我们在三维中的结果，我们揭示了相应 $F$-流形在奇点附近的半范式。