pre-Lie 代数上的 Nijenhuis 算子

首先，我们使用一种新方法给出一个分次 Lie 代数，其 Maurer-Cartan 元刻画了 pre-Lie 代数结构。然后，利用该分次 Lie 括号，我们在 pre-Lie 代数上定义了 Nijenhuis 算子的概念，它生成该 pre-Lie 代数的平凡形变。pre-Lie 代数上的 O-算子、Rota-Baxter 算子与 Nijenhuis 算子之间存在密切联系。特别地，Nijenhuis 算子“连接”了 pre-Lie 代数上的两个 O-算子，它们的任意线性组合在某种意义上仍然是 O-算子，因此相容 L-dendriform 代数作为诱导的代数结构自然出现。对于 pre-Lie 代数正则表示的对偶表示的情形，通过引入伪 Hessian-Nijenhuis 结构的概念给出了几何解释，该结构生成了一系列伪 Hessian 结构与伪 Hessian-Nijenhuis 结构。通过在 pre-Lie 代数上引入 para-complex 结构的概念，进而详细研究 para-complex 二次 pre-Lie 代数与 para-complex 伪 Hessian pre-Lie 代数，阐明了 pre-Lie 代数上的 Nijenhuis 算子在几何中的另一应用。最后，我们给出了 pre-Lie 代数上 Nijenhuis 算子的一些例子。