$\mathcal{O}$-算子的形变及其控制上同调

$\mathcal{O}$-算子在数学和物理的诸多领域中都十分重要，例如可积系统、经典 Yang-Baxter 方程、pre-Lie 代数以及算子分裂。本文建立了一个与形变理论一般原理相一致的 $\mathcal{O}$-算子形变理论。一方面，$\mathcal{O}$-算子被证明可被表征为适当分次 Lie 代数中的 Maurer-Cartan 元。给定的 $\mathcal{O}$-算子生成一个微分分次 Lie 代数，其 Maurer-Cartan 元表征该给定 $\mathcal{O}$-算子的形变。另一方面，从 $\mathcal{O}$-算子 $T$ 可识别出一个带表示的 Lie 代数，使得相应的 Chevalley-Eilenberg 上同调控制 $T$ 的形变，因此可被视为该 $\mathcal{O}$-算子的 Andr\'e-Quillen 上同调的类似物。随后，研究了 $\mathcal{O}$-算子的无穷小形变和形式形变。特别地，引入了 Nijenhuis 元的概念以表征平凡的无穷小形变。$\mathcal{O}$-算子的形式形变与 $n$ 阶形变的可延拓性也通过新的上同调理论得到了表征。给出了对权重为 0 的 Rota-Baxter 算子以及经典 Yang-Baxter 方程的斜对称 $r$-矩阵形变的应用。对于斜对称 $r$-矩阵，存在独立的形变 Maurer-Cartan 表征以及控制形变的 Andr\'e-Quillen 上同调类似物，结果表明它们与作为伴随余表示相关联的 $\mathcal{O}$-算子所得到的结果等价。最后，研究了斜对称 $r$-矩阵及其对应三角 Lie 双代数的无穷小形变。