通过 $n$-李代数上同调的 Yang-Baxter 算子形变

我们在向量空间的张量范畴中引入 $n$-元自分配对象的上同调理论,用以分类其无穷小形变。对于由 $n$-李代数得到的 $n$-元自分配对象,我们证明 ($n$-元) 李上同调自然嵌入自分配上同调中,并在温和的附加假设下证明该映射是第二上同调群的同构。这表明自分配形变完全由李括号的形变分类。该理论在 Yang-Baxter 算子研究中具有重要应用,因为自分配形变决定了由 $n$-元自分配结构导出的 Yang-Baxter 算子的非平凡形变。特别地,我们证明从第二自分配上同调到相关 Yang-Baxter 算子的第二上同调存在同态。此外,我们证明当自分配结构由中心平凡的李代数诱导时,得到单同态。我们基于同时形变构造形变理论,其中余代数与自分配结构同时形变。我们证明当李代数具有非平凡上同调(例如半单李代数)时,同时形变仍可能是非平凡的,产生相应的 Yang-Baxter 算子形变。我们给出低维的例子与计算,并完全刻画了由所有非平凡三维实李代数(即 Bianchi I-IX)及所有非平凡三维复李代数得到的自分配对象的 $2$-上闭链。