修正 $r$-矩阵的形变及相关代数结构的上同调

修正 $r$-矩阵是修正经典 Yang-Baxter 方程的解，由 Semenov-Tian-Shansky 引入，在数学物理中起着重要作用。在本文中，我们首先引入修正 $r$-矩阵的上同调理论。然后我们利用所建立的上同调理论研究修正 $r$-矩阵的三种形变，包括代数形变、几何形变和线性形变。我们给出支配修正 $r$-矩阵代数形变的微分分次李代数。对于几何形变，我们证明刚性定理，并研究修正 $r$-矩阵的一个邻域在全部修正 $r$-矩阵结构空间中何时是光滑的。在平凡线性形变的研究中，我们引入修正 $r$-矩阵的 Nijenhuis 元的概念。最后，给出应用于对角补李代数和相容泊松结构形变的研究。