准双层 Lie 代数的变形图

本文提供了一种统一的方法，来研究 Lie 代数范畴中各种算子的上 cohomology 理论与变形理论，包括修正的 r 矩阵、跨同态、导数、同态、相对 Rota-Baxter 算子、扭转 Rota-Baxter 算子、Reynolds 算子以及成对 Lie 代数变形图。其主要构成要素为准双层 Lie 代数。我们引入两种准双层 Lie 代数的变形图。类型 I 的变形图统一了 Lie 代数之间的修正 r 矩阵、跨同态、导数和同态，而类型 II 的变形图统一了相对 Rota-Baxter 算子、扭转 Rota-Baxter 算子、Reynolds 算子以及成对 Lie 代数的变形图。我们进一步给出这两种变形图的控制代数和上 cohomology，这不仅恢复了跨同态、导数、同态、相对 Rota-Baxter 算子、扭转 Rota-Baxter 算子和 Reynolds 算子的现有结果，而且还导出了一些此前无法得到的新结果，例如修正 r 矩阵和成对 Lie 代数变形图的控制代数和上 cohomology。