proto-twilled Leibniz 代数中的形变映射

本文旨在寻找一种统一的方法来研究 Leibniz 代数上各种算子的上同调理论。为此，我们首先在 proto-twilled Leibniz 代数中引入形变映射。此类映射推广了定义在 Leibniz 代数上的各种著名算子（如同态、导子、交叉同态、Rota-Baxter 算子、修正 Rota-Baxter 算子、扭曲 Rota-Baxter 算子、Reynolds 算子等）以及 Lie 代数上的嵌入张量。我们定义了形变映射的上同调，统一了上述所有算子的现有上同调。然后，我们构造了一个弯曲 $L_\infty$-代数，其 Maurer-Cartan 元素恰好是给定 proto-twilled Leibniz 代数中的形变映射。特别地，我们得到了 Leibniz 代数上修正 Rota-Baxter 算子、扭曲 Rota-Baxter 算子和 Reynolds 算子的 Maurer-Cartan 刻画。最后，给定一个 proto-twilled Leibniz 代数和一个形变映射 $r$，我们构造了两个控制 $L_\infty$-代数，第一个控制算子 $r$ 的形变，而第二个控制 proto-twilled Leibniz 代数与算子 $r$ 的同时形变。