流形上的 Sobolev 空间与 $\nabla$-微分算子 I：基本性质与加权空间

我们研究黎曼流形上一般厄米向量丛中系数的 {\em $\nabla$-Sobolev 空间} 与 {\em $\nabla$-微分算子}，强调使用联络（通常记为 $\nabla$）的无坐标方法。这些概念自然产生于偏微分方程，包括一些表述于普通欧氏区域上的方程，例如用于研究奇异域上 PDE 的加权 Sobolev 空间。我们证明了一般流形上 $\nabla$-Sobolev 空间与 $\nabla$-微分算子的若干基本性质。例如，我们证明了微分算子的映射性质，以及 $\nabla$-Sobolev 空间关于全有界扰动在联络 $\nabla$ 选取上的无关性。我们针对全有界向量场引入 {\em Fr\'echet 有限性条件}（FFC），该条件为有界几何流形的开子集等情形所满足。当满足 (FFC) 时，我们给出 $\nabla$-Sobolev 空间与 $\nabla$-微分算子的若干等价定义。我们更详细地考察了欧氏空间中区域这一特例，包括加权 Sobolev 空间的情形。我们还引入并研究了 {\em $\nabla$-双微分} 算子（微分算子的双线性版本）的概念，获得了与 $\nabla$-微分算子类似的结果。双线性微分算子对于变分问题的整体几何讨论是必要的。我们力求使本文能为广大读者所理解。