向量束上的几何积分分部与伪 Sobolev 空间：统一的全局方法

本文发展了一种关于向量束上伪 Sobolev 空间的统一内在框架。我们方法的分析核心是一条显式的高阶几何积分分部公式，这一公式以全局微分算子的形式刻画了协变导数的形式伴随算子。这一身份成立于任意黎曼流形上（包括边界），无需假设其完备或紧凑。虽然一阶积分分部恒等式已为人所熟知，但具有明确边界项的显式高阶公式在文献中鲜有论述。作为本框架的应用，我们在任意流形上恢复了经典的 Meyers--Serrin 定理；在紧凑情形下，我们得到伪 Sobolev 嵌入定理和 Rellich--Kondrachov 紧凑性定理，提供了直接且自包含的证明。在本文末，我们还建立了格林公式，并据此在以闭合流形为基空间且 Bochner 拉普拉斯算子为算子的向量束上的伪 Sobolev 空间中建立范数等价。作为推论，我们表明，在非平凡向量束的情况下，这一等价性化简为已知（但在文献中未严格证明）的针对闭合流形和拉普拉斯-贝尔特米算子的结果。通过强调内在的全局论证和尖锐的局部到全局范数等价估计，而非粗糙的坐标粘接，本工作为向量束上的伪 Sobolev 空间研究提供了一个透明且易于访问的基础，适合全球分析、微分几何和偏微分方程的研究者。