通过含分布算子的 Green 函数方法构建广义 Sobolev 空间的再生核

本文通过定义一个半内积引入了广义 Sobolev 空间，该半内积由向量分布算子 $\mathbf{P}$ 表述，$\mathbf{P}$ 由有限或可数个定义在 Schwartz 空间对偶空间上的分布算子 $P_n$ 组成。我们考虑的算子类型不仅包括微分算子，还包括更一般的分布算子，如伪微分算子。我们推导出，关于 $L:=\mathbf{P}^{\ast T}\mathbf{P}$ 的某个适当的全空间 Green 函数 $G$ 现在成为一个条件正定函数。为了支持这一主张，我们确保了 $\mathbf{P}$ 的分布伴随算子 $\mathbf{P}^{\ast}$ 在分布意义下是良定义的。在充分条件下，与 Green 函数 $G$ 相关的原生空间（再生核 Hilbert 空间）可以等距嵌入到广义 Sobolev 空间中，甚至与其等距等价。作为应用，我们取 Green 函数的平移线性组合（可能添加多项式项），构造了一个多元最小范数插值函数 $s_{f,X}$，用于拟合从未知广义 Sobolev 函数 $f$ 在位于某集合 $X \subset \mathbb{R}^d$ 的数据点处采样的数据值。我们提供了若干示例，如 Mat\'ern 核或 Gaussian 核，说明了许多具有已知再生核的再生核 Hilbert 空间如何与广义 Sobolev 空间等距等价。这些示例进一步说明了我们如何通过向量分布算子 $\mathbf{P}$ 重新缩放 Sobolev 空间。将尺度概念引入广义 Sobolev 空间的定义中，可能有助于我们为基于核的近似方法选择“最佳”核函数。