通过迹换方法研究广义老化算子的加权索贝尔空间与分布谱论

异构和老化介质中算子的谱分析通常需要超越标准希尔伯特空间的函数框架。本文通过采用结构保持的迹换方法，建立了一类非局部算子（称为加权Weyl-Sonine算子）的严格分布理论。我们构造了加权 Schwartz 空间 $\mathcal{S}_{\psi,\omega}$ 及其拓扑对偶——加权温和分布空间 $\mathcal{S}'_{\psi,\omega}$，确保其下的弗雷当拓扑与老化动力学的无限小发生器一致。这种拓扑基础使我们能够：(i) 将加权傅里叶变换扩展到广义函数，作为一一同构；(ii) 对加权狄拉克δ函数 $\delta_{\psi,\omega}$ 及其在几何稀释下的比例定律进行显式谱特征化；(iii) 定义通过谱乘子构造的加权索贝尔空间体系 $H^{s}_{\psi,\omega}$。核心结果为推导出精确嵌入定理 $|u(t)| \le C \omega(t)^{-1} \|u\|_{H^s_{\psi,\omega}}$，严格将抽象谱能与权函数 $\omega$ 引起的点态衰减相联系。该框架在单一算子论架构中，统一描述了包括哈达维与黎曼-利奥瓦尔情况在内的多个分数阶情形。