与酉系综的软谱边和硬谱边相关的算子

本文利用 Hilbert 空间上的 Hankel 算子与平移不变子空间，发展了与随机矩阵特征值分布的软边和硬边相关的算子理论。Tracy 和 Widom 引入了一个投影算子 $W$ 来描述高斯酉系综谱的软边。子空间 $WL^2$ 在平移半群 $e^{itD}$ $(t\geq 0)$ 下是单可变的，并在 Schr"odinger 半群 $e^{it(D^2+x)}$ $(t\geq 0)$ 下不变；这些性质通过 Beurling 定理刻画了 $WL^2$。随机矩阵的 Jacobi 系综具有正特征值，这些特征值趋于在零处的硬边附近聚集。本文确定了一对满足 von Neumann--Weyl 反对易关系并保持不变的 $L^2(0,\infty)$ 的某些子空间的酉群，这些子空间对于具有 Jacobi 核的算子是不变的。此类 Tracy--Widom 算子是加权 Hardy 空间（称为 Sonine 空间）的再生核。Hill 方程的周期解给出了一族新的 Tracy--Widom 型算子。