通过 Laplace 平均构造标量型算子的本征函数及其与 Koopman 算子的联系

本文扩展了 Yosida 平均遍历定理，以便计算局部凸线性拓扑空间上标量型谱算子到非酉本征空间的投影。对于具有主导点谱的谱算子，投影采取 Laplace 平均的形式，这是谱为酉时所采用的 Fourier 平均的推广。逆迭代和 Laplace 平均可将具有最小点谱的谱算子投影到其本征空间。文中给出了两类动力系统——$\mathbb{C}^{d}$ 中的吸引不动点和 $\mathbb{R}^{2}$ 中的吸引极限环——及其各自的观测空间，其相关的复合算子是谱算子。研究表明，自然的观测空间是在赋范单位交换环上的多项式空间关于 $\ell^{2}$ 多项式范数的完备化。这些空间是 Hardy 空间 $H^{2}(\mathbb{D})$ 和 $H^{2}(\mathbb{D}^{d})$ 的推广。环中的元素是定义在吸引子（在我们的例子中为不动点或极限环）上的观测值。此外，我们能够为与一大类耗散非线性动力系统相关的复合算子提供（半）全局谱定理；任何足够光滑且拓扑共轭于上述两种情况之一的动力系统，都存在一个观测空间，使得相关的 Koopman 算子是谱算子。我们猜想，对于吸引盆可以被适当“坐标化”的系统，这通常是成立的。