库普曼主特征函数与微分同胚的线性化

本文考虑一个定义在复有限维巴拿赫空间上的非线性动力系统，该系统具有一个渐近稳定的双曲不动点。我们研究了库普曼算子的所谓主特征函数与非线性动力学及其在不动点邻域内线性化之间存在拓扑共轭之间的联系。主特征函数生成了线性动力学的可观测量代数——称为主代数——它可用于以范式理论中的相同方式生成一列近似共轭映射。主代数中的每个元素都可展开为库普曼算子的特征函数，而将特征函数与某个近似拓扑共轭复合，便得到与非线性动力系统相关的库普曼算子的近似特征函数。当近似共轭的极限存在且仅限于实巴拿赫空间时，斯通-魏尔斯特拉斯定理的一个简单应用表明，主代数与拉回代数——由主代数与拓扑共轭复合定义——在连续函数空间或在不动点处消失的连续函数极大理想中均为一致稠密。关键在于，先验地，对于其元素具有特征函数谱展开的耗散非线性动力系统，很难知道应使用哪个可观测量空间。这些结果表明，任何连续可观测量都任意接近于一个具有此种展开的可观测量。