再生核希尔伯特空间中的库普曼谱

每一个可逆的、保测度的动力系统都诱导出一个库普曼算子，它是作用于与该不变测度相关联的观测量的 $L^2$ 空间上的线性酉演化算子。库普曼本征函数代表了动力学的准周期或非混合分量。当底层系统具有稠密点谱或与噪声表现类似的连续谱时，从给定时间序列中提取这些本征函数及其关联本征频率是一个非平凡问题。本文描述了从此类具有未知动力学的系统所生成的离散采样时间序列中识别库普曼本征频率与本征函数的方法。我们的主要结果给出了沿动力学轨道采样的 $N$ 个状态上定义的傅里叶函数可扩展为整个状态空间上位于再生核希尔伯特空间（RKHS）中的库普曼本征函数的充要条件。特别地，我们证明这样的扩展存在当且仅当该傅里叶函数的 RKHS 范数不随 $N \to \infty$ 发散，此时相应的傅里叶频率也是库普曼本征频率。若这样的 RKHS 扩展不存在，我们仍可以构造该本征函数的 $L^2$ 逼近。在具有弱周期分量的混合谱系统上的数值实验表明，与基于离散傅里叶变换的传统谱估计技术相比，该方法在识别库普曼本征频率方面具有显著更高的技能。