Koopman算子在再现核希尔伯特空间上的收敛方法

Koopman算子的数据驱动谱分析是理解诸多实际动力系统的强大工具，从神经活动到海表温度变化。Koopman算子作用于函数空间，最常在平方可积函数空间上进行研究。然而，在合适的再现核希尔伯特空间 (RKHS) 上定义它提供了诸多实际优势，包括具有误差界的点预测、促进计算的改进谱性能以及在高维情形下的更高效算法。我们引入了首个一般性、可证收敛的数据驱动算法，用于计算RKHS上的Koopman和 Perron--Frobenius 算子谱特性。这些方法在RKHS结构下高效计算谱和谱谱，同时控制误差和谱度量，利用RKHS结构避免了 $L^2$ 情形中必需的大规模数据限制。函数空间由用户指定的核决定，无需像 $L^2$ 那样进行基于数值积分的抽样，使其能够更灵活地处理有限的外部提供的数据集。使用 Solvability Complexity Index 层次结构，我们为这些问题构建对抗性动力系统，以显示没有算法可以在更少的限制下成功，从而证明了我们算法的最优性。值得注意的是，这种不可避免性也适用于随机算法和数据集。我们在源自实际测量和高保真数值仿真的挑战性高维数据集上演示了算法的有效性，包括湍流通道流、结合蛋白的分子动力学、南极海冰浓度以及北半球海表高度。该算法已公开于软件包 $\texttt{SpecRKHS}$ 中。