基于 Koopman 算子在再生核希尔伯特空间上的 Lyapunov 函数估计：谱稳定性理论

Koopman 算子提供了对非线性系统的普遍线性描述，其从数据估计（通过扩展动态模式分解）已被广泛研究。然而，Koopman 谱与平衡点稳定性之间的难以捕捉的关系，构成了利用 Koopman 算子进行稳定性分析的挑战，进而阻碍了构建基于 Koopman 的控制通用理论的实现。在先前工作中，我们使用线性-径向积核函数，在再生核希尔伯特空间（RKHS）上定义 Koopman 算子，并证明了当原点为渐近稳定平衡点时，Koopman 谱被限制在复平面单位圆内。基于这一基本谱-稳定性关系，本文考虑基于 Koopman 算子的 Lyapunov 函数估计问题，给定衰减率函数。衰减率函数与 Lyapunov 函数均由 RKHS 上的正算子指定，二者通过算子代数 Lyapunov 方程（ALE）相关联，其唯一解存在。基于统计学习理论，本文建立了通过核扩展动态模式分解（kEDMD）获得的 Lyapunov 函数估计误差界，并通过数值实验进行验证。