具有内在观测量的Koopman算子及其在装备再生核希尔伯特空间中的研究

本文提出了一种估计定义在再生核希尔伯特空间（RKHS）上的Koopman算子及其谱的新方法。我们提出了一种估计方法，称为Jet扩展动态模式分解（JetEDMD），利用RKHS的内在结构和称为jets的几何概念来增强Koopman算子的估计。该方法在精度上改进了传统的扩展动态模式分解（EDMD），特别是在特征值的数值估计方面。本文通过显式误差界和特殊正定核的收敛速度证明了JetEDMD的优越性，为其性能提供了坚实的理论基础。我们还研究了Koopman算子的谱分析，提出了在装备希尔伯特空间框架下的扩展Koopman算子概念。这一概念导致了对估计的Koopman本征函数的更深入理解，并能够在原始函数空间之外捕获它们。通过装备希尔伯特空间理论，我们的研究为分析Koopman算子的估计谱和本征函数提供了一种原则性方法，并能够在装备RKHS内进行特征分解。我们还提出了一种新的有效方法，用于从动力系统的时间采样轨迹数据中重构动力系统，并具有坚实的理论保证。我们使用van der Pol振荡器、Duffing振荡器、Hénon映射和Lorenz吸引子进行了多次数值模拟，并通过清晰的特征值数值计算和动力系统的准确预测展示了JetEDMD的性能。