关于扩展动态模式分解到Koopman算子的收敛性

扩展动态模式分解（EDMD）是一种通过状态空间中$M$个点的采样来逼近Koopman算子在观测空间$N$维子空间上作用的算法。假设样本是从某个测度$\mu$独立或遍历地抽取，已证明在$M\rightarrow\infty$极限下，EDMD算子$\mathcal{K}_{N,M}$收敛到$\mathcal{K}_N$，其中$\mathcal{K}_N$是Koopman算子作用在有限维观测子空间上的$L_2(\mu)$-正交投影。在本工作中，我们证明当$N \rightarrow \infty$时，算子$\mathcal{K}_N$在强算子拓扑下收敛到Koopman算子。这尤其意味着给定观测在任意有限时间范围内未来值预测的收敛性，这一事实对预测、估计和控制等实际应用很重要。此外，我们证明$\mathcal{K}_N$谱的聚点对应于Koopman算子的特征值，且相关特征函数弱收敛到Koopman算子的特征函数，前提是特征函数的弱极限非零。作为副产品，我们提出了EDMD算法的解析版本，在某些假设下允许直接构造$\mathcal{K}_N$而无需采样。最后，在额外假设下，我们分析$\mathcal{K}_{N,N}$（即$M=N$）的收敛性，证明沿子序列收敛到与Perron-Frobenius算子的特征测度相关的弱特征函数（或特征分布）。全程不需要观测属于Koopman算子有限维不变子空间的假设。